Química

Valores extremos con restricciones


Método de multiplicadores de Lagrange

Buscamos una solución general al problema de determinar el extremo de la función z=F(X,y) si la condición secundaria es válida ϕ(X,y)=0. El método del multiplicador de Lagrange es una forma de resolver el problema. El cambio es extremo Dz cero

Dz=FXDX+FyDy=0.

el fin ϕ(X,y)=0 sigue

Dϕ=ϕXDX+ϕyDy=0.

Los diferenciales DX y Dy no son independientes entre sí. Para resolver las ecuaciones, sumamos las dos ecuaciones, introduciendo un número real arbitrario λ, que se llama multiplicador de Lagrange:

(FX+λϕX)DX+(Fy+λϕy)Dy=0.

Ahora decidimos λ así que eso

Fy+λϕy=0

es aplicable. Entonces, en lugar del valor extremo, el coeficiente de DX desaparecer allí DX es arbitrario, es decir

FX+λϕX=0.

En la ubicación del extremo, se aplican las tres ecuaciones

FX+λϕX=0Fy+λϕy=0ϕ(X,y)=0,

con quien los tres extraños λ, X y y se puede calcular.

ejemplo

¿Qué rectángulo con perímetro a tiene el área más grande? En otras palabras, necesitamos el extremo de F(X,y)=Xy bajo la condición secundaria ϕ(X,y)=2X+2y-a=0. Introduciendo un multiplicador de Lagrange λ sigue desde

FX+λϕX=y+2λ=0Fy+λϕy=X+2λ=0X=y

y

ϕ=2X+2y-aX=y=a/4.


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